cos18°
Op school wordt uitgelegd hoe de sinus, cosinus en tangens van 30°, 45° en 60°
exact kan worden berekend. Kan dat ook met andere hoeken?
In de driehoek hieronder kunnen we gemakkelijk nagaan, dat 5α = 90° is.
Dan zijn α = 18°, 2α = 36° en 3α = 54°.
cos3α
Uit de goniometrie is bekend, dat cos3α = 4•cos3α - 3•cosα is.
Het bewijs staat hieronder maar je kunt het overslaan.
Het bewijs van cos3α = 4•cos2 α -3•cosα
Een standaardformule uit de goniometrie is
cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ.
Kies β = 2α. Dan
cos(α + 2α) = cosαcos2α – sinαsin2α
cos3α =
cosα(2cos2α - 1) - sinα(2sinαcosα) =
cosα{(2cos2α - 1) - 2sin2α} =
cosα{(2cos2α - 1) - 2(1 - cos2α)}
Dus cos3α = 4cos3α-3cosα.
Uit de figuur is te zien:
cos3α = a/1. Bewezen is, dat cos3α = 4cos3α-3cosα.
Dus a = 4cos3α - 3cosα. Dit is vergelijking (1).
cos2α = b/1. Bekend is, dat cos2α = 2cos2α - 1,
Dus b = 2cos2α - 1. Dit is vergelijking (2).
De stelling van Pythagoras geeft hier a2 + b2 = 1.
Combineren we dat met vergelijkingen (1) en (2), dan:
(4cos3α - 3cosα)2 + (2cos2α - 1)2 = 1
Noem cosα tijdelijk p.
(4p3 - 3p)2 + (2p2 - 1)2 = 1
(16p6 - 24p4 + 9p2) + (4p4 - 4p2 + 1) = 1
16p6 - 20p4 + 5p2 = 0 of p2(16p4 - 20p2 + 5) = 0.
p = 0 voldoet niet, dus 16p4 - 20p2 + 5 = 0.
Noem p2 tijdelijk x. Omdat 0 ≤ cosα ≤ 1, is ook 0 ≤ p ≤ 1.
16x2 - 20x + 5 = 0. Dat geeft x = {5 + √5)/8.
p2 = x = (5 ± √5)/8 en p = cos18°,
dus p = √{(5 ± √5)/8}.
p2 = 0,9510565 of p = 0,5877852. De cos18° is volgens mijn rekenmachine 0,9510565.
Blijkbaar is de exacte beschrijving: cos18° = √{(5+√5)/8}.
Met de eerder genoemde formule cos2α = 2cos2α -1 kunnen we nu ook
cos36° en cos72° exact bepalen. Zelfs cos9°.
Met cos3α = 4cos2α - 3cosα zijn we in staat om een exacte uitdrukking voor
cos54° te vinden. Met cos54° = 2cos227° – 1 toveren we ook cos27° te voorschijn.
Sinus
Met sinα = √(1 - cos2 α)kunnen we van elke genoemde hoek een exacte uitdrukking
vinden van de sinus. Maar cosα = sin(90° - α) is hier ook een zeer handig hulpje.
Tangens
Met tanα = sinα /cosα kunnen we tenslotte van elke genoemde hoek een exact uitdrukking
vinden van de tangens. Zie de goniotabel.
Andere driehoek
Als we gebruik maken van een driehoek met hoeken α, 4α en 90°,
dan krijgen we gelijksoortige resultaten.
Welke hoeken
Met sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ en
cos(α + β) = cosαcosβ + sinαsinβ
zijn de overige hoeken te vinden die een veelvoud zijn van 9°.